Logaritma

Subbab 1.3: Logaritma

A. Definisi Logaritma

Logaritma adalah invers (kebalikan) dari eksponen. Jika eksponen mencari hasil pangkat, logaritma mencari “pangkat berapa” yang menghasilkan angka tersebut.

Bentuk umum logaritma:

$$\log_a b = c$$

dengan:

• $a$ = basis logaritma (syarat: $a > 0$ dan $a \neq 1$)
• $b$ = numerus (angka yang dicari logaritmanya, syarat: $b > 0$)
• $c$ = hasil logaritma (pangkat)

Cara membaca:

$$\log_2 8 = ?$$

Artinya: “2 dipangkatkan berapa supaya hasilnya 8?”

Jawabannya adalah 3, karena:

$$2^3 = 8$$

---

B. Sifat-Sifat Logaritma

Sifat-sifat ini adalah senjata utama dalam mengerjakan soal logaritma.

1. Sifat Dasar

$$\log_a a = 1$$ $$\log_a 1 = 0$$

---

2. Penjumlahan dan Pengurangan

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$ $$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$$

(Catatan: basis logaritma harus sama)

---

3. Pangkat Numerus (Pangkat Turun)

$$\log_a b^n = n \log_a b$$

Contoh:

$$\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5 \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5$$

---

4. Perubahan Basis

$$\log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a}$$

(dengan $p$ bebas, dipilih sesuai kebutuhan soal)

atau:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

---

5. Perkalian Berantai

$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$

(Syarat: numerus logaritma pertama sama dengan basis logaritma kedua)

---

C. Contoh Soal Penyederhanaan

Sederhanakan:

$$\log_2 4 + \log_2 8$$

Cara 1 (Hitung langsung):

$$\log_2 4 = 2 \quad (\text{karena } 2^2 = 4)$$ $$\log_2 8 = 3 \quad (\text{karena } 2^3 = 8)$$

Sehingga:

$$2 + 3 = 5$$

Cara 2 (Menggunakan sifat penjumlahan):

$$\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5$$

Inti Subbab 1.3:
Logaritma adalah cara lain menuliskan pangkat. Ingat “lingkaran definisi”:

$$a^c = b \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a b = c$$

Penjumlahan logaritma berarti perkalian numerus, dan pengurangan logaritma berarti pembagian numerus.

---

Rangkuman Akhir Bab 1

1. Eksponen berkaitan dengan perkalian berulang. Sifat pentingnya: perkalian pangkat berarti penjumlahan eksponen, pembagian berarti pengurangan eksponen.
2. Fungsi Eksponen menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan yang sangat cepat.
3. Logaritma adalah operasi untuk mencari pangkat. Logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan, sehingga perhitungan menjadi lebih sederhana.